洗80战场套的三个激活属性，有多大概率能洗出自己想要的属性组合？

lanrisea

生活中处处充满数学（笑）。

关于80战场套三属性分别激活的问题，我昨晚参与了以下帖子的讨论。

http://tx3.netease.com/viewthread.php?tid=2516978&extra=&page=1

当时由于时间仓促，我的表述和思考难免有错失的地方。此后我参考了楼里其他一些朋友的观点，并进行了场外求助，结合我自己的观点，进行整理和介绍。

好吧我知道很多人可能不看推理过程……结论在顶楼放一份：

在洗装备这事儿符合二楼的取球模型的前提下，对于某一激活属性，

期望值计算表示洗4次是平均值，慢慢洗的同学可以考虑这个值；

累积概率计算表示一次准备洗10次的道具，有比较大的把握出想要的结果，想速战速决的同学可以据此考虑预算。

此结论供参考，实际游戏中好属性的出现率明显会低于1/4,需要洗的次数也会大大增加……

这个结论是管“让想要的属性出现”的，不管“让想要的属性出高数值”哦……  

目录

第二楼：题目背景介绍

第五楼：正解介绍

第七楼：结论，理论计算的现实意义

第八楼：解题中相关数据的推理详解

第九楼：其他问题观点

第20楼：正确理解期望的意义

第28楼：关于"答案是1/64"的问题观点的详解

第29楼：关于"伪随机值"，与概率讨论的实际应用意义的再次详解

本楼不讨论KFC设的实际属性，没法算的嘛……硬要算，算法应该是一样的，但只能给你个很乱来的表达式，全是未知数据………………

欢迎使用"只看该作者功能"~

木有人给我分5" />你们都是坏人

lanrisea

讨论的起因，是一楼帖子的楼主问，“80战场套，一件三个分别洗的激活属性，每个属性有4种可能性，那么洗出特定属性组合的概率是多少？”

这个问题表述上有不规范的地方。为了解题，我们把它进行一定的抽象化。每条属性中4种属性出现的概率也固定为1/4。

接下来我将直接使用一些概率和期望的数值，它们的具体推算过程在第五楼楼详述。

为了简化模型，我们讨论单一盒子的取球。

那么讨论开始。

纯白以外

要不要插个楼呢？

yueqianyiye125

你洗一下就知道了。概率不是四分之一。越靠后的越难出。

lanrisea

问题：现有盒子A，其中四个球标为A1，A2，A3，A4，从其中有放回地取球，直至取到A1。需要多少次？

显然这个问题论具体数值是无解的，只能计算一个统计意义上的取球次数。

正解一：期望计算。

从盒子里取得A1球的概率是1/4。取球操作数的期望是4，因此答案是取4次。

课外阅读：

定义：散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。

理解：可以这样理解，无数次的进行取球操作时，平均每4次能取到一次A1球。

正解二：累积概率计算

在前N次取球操作中，A1至少出现一次的概率是[1-(3/4)的n次方]。要使这个出现概率达到令人满意的某个数值Pa，那么解方程

1-(3/4)的n次方 大于等于 Pa

算得的n值就是想要的结果。

昨晚我预设了Pa=90%，计算得n=8。即操作8次，有九成把握得到A1球。同样的计算，若Pa=95%，则n=10左右。（小概率事件的概率值通常认为5%以下，也有1%以下，0.1%以下等要求，因此我加算了Pa=95%的情况。）

课外阅读：

定义：在不确定分析中，当净现值期望值相对较低，需进一步了解项目经济效益发生在某一区间的可能性有多大，则应计算这个区间内所有可能取值的概率之和，即累积概率(cumulative probability)。

理解：进行10次操作，有九成五的把握得到A1球。

香格里拉-小小情报员

如果普、高、究出想要属性的概率都分别是1/4  那么期望不应该是普4次、高4次、究4次吗

lanrisea

两种正解的讨论和实际意义

好吧这真是奇妙，两种思路似乎都没有问题，那么，什么导致了4次与10次的差别呢？请注意两个课外阅读中的《理解》内容。

区别在于，期望是“无数次的进行取球操作”，而累积概率是“进行10次操作”。

在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。

当操作重复的次数不高时，在有限次操作里，事件发生的频率，与无限次操作时，是不同的。

我觉得，期望适用于与网易的收入计算，今年，明年，后年，当卖出的战场套件数足够大量时，若卖出的件数是x件，则网易卖出的普/高/究符的数量将接近4x件。网易的游戏经济分析师应当如此计算游戏收益。

洗战场套的平均**也应该使用洗4次来计算。

累积概率适用于小量操作计算，对于玩家来说，不可能经手无限件装备，一人洗的次数对于网易的“大量”来说，只能算小量。

这么说吧，4是平均值，10是靠谱值。

为了一个属性，若准备4张符，你有一半多的概率来得到想要的属性（实际上4次操作得到想要属性的累积概率是68%），号品不错的可以考虑这个值，。

若准备10张，有比较大的概率你想要的属性会至少出现一次，想一天里速战速决的可以考虑按这个值来进行预算。

为了达到目的，4以下会危险，10以上会显得浪费。4~10之前其实都可以算合适范围，请按个人财力决定具体数值。

(据说多的符在2小时内可以原价还给NPC？那就没有浪费的问题了)

(据说出了某个属性，该属性的值也是随机的？这个……）

lanrisea

数据详解

期望计算方法一：

直接截个课件图，模型是一样的，就是取球的概率是1/4.

期望计算方法二：

若一次摸，摸到A1，概率P（1） = 1/4

若第二次摸，摸到到A1，概率P（2） = （1/4）*（3/4）

……

若第N次摸，摸到A1，概率P（n）= （1/4）*（3/4）的（n-1）次方

期望E（n）=1* P（1）+2* P（2）+ … +n P（n）

代入数值，乘以3/4错位相减，算得，4。

累积概率计算：

与上面一样，若一次摸，摸到A1，概率P（1） = 1/4

若第二次摸，摸到到A1，概率P（2） = （1/4）*（3/4）

……

若第N次摸，摸到A1，概率P（n）= （1/4）*（3/4）的（n-1）次方

因此，到第N次为止，这N次中A1出现的概率，即

累积概率Q（n）= P（1）+ P（2）+ … +P(n) = 1- (3/4)的n次方

Q(n)的函数曲线是一条过原点的曲线上，n为正整数时候的一群点，极限为1。

反正也不管负数情况，我在第一象限里就这么表示一下吧……

它的二阶导数小于零，曲线为始终减速增长。图上基本上还是可以看到，1~4，增长相当快，4之后开始显得平缓，到8~10已经很接近1了。4~10是合理范围。

lanrisea

其他观点

在原帖里出现过的其他观点，我觉得有点问题的。

观点一：单属性操作的期望是4次，三属性即为12次，因此得到希望属性组合的概率为1/12.

解答：挠头，这里之前我真的没有见过会有人把期望直接倒过来变概率……

只有在某些特殊情况下，期望的倒数在数值上等于概率。

请注意是在数值上等于，实际是没有意义的。

请看期望计算最经典的风险分析例子：

有个项目，70%概率会成功，成功则能收入100万元；30%概率会失败，失败则亏损70万元。那么，这个项目的期望收益是100*70%-70*30%=49万元。

倒数后变成“四十九万元分之一”，这是什么东西？

又例如，某养牛场今年产出小牛的期望头数是500头，那么500头分之一是什么东西？

很多概念取倒数后能变成另一个概念，很不幸期望不能……

观点二：洗出一条属性的概率是1/4，三条就是三个1/4相乘，得1/64.

[

解答：这个说法令人迷惑，我想了很久怎么解，但是跟三条属性一起随机一样的概率，总觉得不太可能。

场外求助的结果是，三属性依次洗，不是相互独立的事件。因此不能用相乘。

我们设定了三条分开洗，先洗A，A成功了再洗B。当A1没出现时，BC取得成功的概率都是0。A1出现之后，BC才开始出现正值。所以ABC不是三个独立事件。A的成功率会影响BC的成功率。

很神奇有木有。但好像真的如此。

只有当三条属性一起洗，就是A选一个，B选一个，C选一个，若三属性中有一个没出想要的，就全部重来的时候，才是1/64。

或者求算三张符各用一张，就达成三属性成功时，才是1/64。

lanrisea

好吧，至此我的计算完毕，有其他见解的同学请带上你可爱的算法和算式。

为什么会有那么多奇怪的表情……

楼主先去吃饭饭了求分分……

hustwsp

楼上牛逼

轻叹世间多变迁

我靠。。。LZ你数学真好。。。我早就忘记这些东西了

wen494

膜拜下数学帝.......

lanrisea

你洗一下就知道了。概率不是四分之一。越靠后的越难出。
yueqianyiye125 发表于 2012-10-17 17:14

实际概率是多少那就没法算只能看人品了，这个值只有kfc知道……
我只能讨论当概率为1/4时的解

yxzy331

  数学小白。完全看不懂····

天朝小盆友

好专业的说。。。。

yueqianyiye125

回复 16# lanrisea


    出第一个的概率大概是50%，第二个25%，第三个10%，第四个10%,第五个5%，这个是世界套洗40次的统计。你可以参考下。估计战场套差不多

lanrisea

如果普、高、究出想要属性的概率都分别是1/4  那么期望不应该是普4次、高4次、究4次吗
香格里拉-小小情报员 发表于 2012-10-17 17:16

抓住卖萌小，帮你打卖萌补丁

期望是4没错，但是期望代表的概率不是100%，不要搞混了。

期望是集合中各赋值与其概率乘积的代数和，它不代表它的概率就是100%，它甚至不一定在这个集合中。

简单的例子，红黄蓝三个球，摸到红球记1分，黄球2分，篮球三分。随机有放回地摸N次后，计算平均得分期望，是2分。
但是这个2分不代表黄球被摸的概率最高，甚至不表示黄球被摸出来过。它表示输出的平均量，只是个代数和而已。

同理，洗装备的期望是4次，但不表示4次洗出的概率最高，更不表示4次一定能洗出。